数学建模笔记

灰度关联分析的数学原理

灰度关联分析（Grey Relational Analysis, GRA）是灰色系统理论中的核心方法，由邓聚龙教授于1982年提出。它通过分析序列曲线几何形状的相似程度来判断因素间关联性的强弱。

一、基本概念

1.1 序列定义

设有：

• 参考序列（母序列）：$X_0 = (x_0(1), x_0(2), \ldots, x_0(n))$
• 比较序列（子序列）：$X_i = (x_i(1), x_i(2), \ldots, x_i(n)), \quad i = 1, 2, \ldots, m$

1.2 核心思想

GRA的核心是基于曲线几何形状的相似性：两条曲线形状越接近，相应序列间的关联度越大。这种方法不要求大数据样本，也不假定典型的概率分布，特别适合处理”小样本”、”贫信息”的不确定系统。

二、数学模型与计算步骤

2.1 数据无量纲化处理

由于各物理量量纲不同，需进行标准化处理：

初值化法（注重发展趋势）：

$$x_i'(k) = \frac{x_i(k)}{x_i(1)}, \quad k = 1, 2, \ldots, n$$

均值化法（最常用）：

$$x_i'(k) = \frac{x_i(k)}{\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} x_i(k)}, \quad k = 1, 2, \ldots, n$$

处理后的序列记为 $X_i'$。

2.2 计算差序列

计算每个比较序列与参考序列在各时刻的绝对差：

$$\Delta_i(k) = |x_0'(k) - x_i'(k)|, \quad k = 1, 2, \ldots, n$$

求全局极值：

$$\Delta_{\min} = \min_i \min_k \Delta_i(k)$$ $$\Delta_{\max} = \max_i \max_k \Delta_i(k)$$

2.3 计算关联系数

关联系数计算公式：

$$\xi_i(k) = \frac{\Delta_{\min} + \rho \Delta_{\max}}{\Delta_i(k) + \rho \Delta_{\max}}$$

其中：

• $\xi_i(k)$：第 $i$ 个比较序列在第 $k$ 时刻的关联系数
• $\rho$：分辨系数，$0 < \rho < 1$，通常取 $\rho = 0.5$

2.4 计算关联度

将各时刻关联系数求平均，得到整体关联度：

$$\gamma_i = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \xi_i(k)$$

2.5 关联度排序

按关联度从大到小排序：$\gamma_{(1)} \geq \gamma_{(2)} \geq \cdots \geq \gamma_{(m)}$，得到各比较序列与参考序列的关联程度排序。

三、数学原理深度解析

3.1 几何解释

GRA实质是曲线间空间距离的量化度量。关联系数公式可视为改进的归一化距离度量：

$$\xi_i(k) = \frac{d_{\text{min}} + \rho d_{\text{max}}}{d_i(k) + \rho d_{\text{max}}}$$

其中 $d_i(k)$ 为 $k$ 时刻两序列的距离。

3.2 函数逼近视角

从数学分析角度看，GRA衡量的是函数曲线间的接近程度。如果两个函数在定义域内各点的相对距离都较小，则认为这两个函数是接近的。

3.3 与相关分析的对比

特性	灰度关联分析	传统相关分析
理论基础	曲线形状相似性	线性关系强度
数据要求	小样本（≥4个点）	大样本
分布假设	无要求	通常要求正态分布
敏感性	对极端值不敏感	对极端值敏感
应用重点	趋势一致性	线性相关性

四、方法特性分析

4.1 优点

1. 数据需求少：最少只需4个数据点即可分析
2. 计算简便：算法简单，易于编程实现
3. 直观性强：结果易于解释和理解
4. 适用性广：不要求数据符合特定分布

4.2 局限性

1. 主观性：分辨系数 $\rho$ 的取值影响结果
2. 方法选择：不同的无量纲化方法可能导致不同结论
3. 信息利用：仅考虑趋势相似性，可能忽略其他重要信息

五、应用领域

灰度关联分析已广泛应用于：

• 方案决策：多方案优选
• 供应商评估：选择最优合作伙伴
• 故障诊断：识别主要故障原因
• 性能评价：多指标综合评估
• 经济分析：影响因素识别

六、总结

灰度关联分析通过量化序列曲线间的几何相似性来评估因素间关联程度，其数学原理基于改进的距离度量和函数逼近思想。这种方法以其对小样本数据的良好适应性和计算的简便性，在系统分析、决策科学等领域发挥着重要作用。